El estresado ritmo de vida actual nos lleva a usar la tecnología, y a gran velocidad, parecería extraño parar y contemplar las grandes pequeñeces que nos rodean y descubrir que existe un origen matemático que las ordena y describe.
En los pétalos de una flor
En las construcciones
En las alas de la mariposa
En las obras de arte
En nuestro cuerpo
En la música
Objetivos
Dar a conocer que los números no sólo se encuentran en una ecuación matemática, sino que están presente en nuestro entorno, tanto en la naturaleza como producto de la mano del hombre.
Historia
La necesidad de contar existe desde la prehistoria, cuando se usaban marcas para registrar cada unidad.
Luego estas marcas se fueron agrupando; aparecieron los números romanos, el Número 0, los números negativos.
Este desarrollo comenzó en India y Arabia y sólo en el siglo XII llegó a Occidente.
Fue el italiano conocido como Fibonacci (Leonardo de Pisa 1170-1250) quien viajaba con su padre, que era comerciante, por el norte de África, el que introdujo los números arábigos en Occidente.
Este apodo viene de Filius Bonacci y significa: hijo de Bonacci)
Su principal obra es el "Liber Abaci", un tratado muy completo sobre métodos y problemas algebraicos donde explica
procesos aritméticos desde los usuales hasta la extracción de raíces
los números negativos para las deudas
soluciones a problemas de transacciones comerciales utilizando un complicado sistema fraccionario.
En el libro aparecen gran cantidad de problemas, entre ellos uno que ha pasado a la historia: el de las parejas de conejos, cuya resolución da lugar a la conocida sucesión de Fibonacci.
Sucesiones Numéricas
En general se llama serie numérica a una secuencia de números enteros de la que nos dan los primeros términos.
El objetivo es encontrar los términos faltantes de la secuencia.
La más simple es la de los números enteros 1, 2, 3, 4, 5, 6 ...
Que nos dice que a partir del Número 1, hay que sumar 1
Observando esta secuencia de números
1, 2, 3, 5, 8, 13, 21
Vemos que cada uno es igual a la suma de los dos anteriores
Por ejemplo 8 + 13 = 21
Se trata de la Serie de Fibonacci conocida por su presencia en muchos ámbitos observables de la naturaleza.
Origen
El siguiente problema es el inicio del estudio de esta serie numérica
"En un patio cerrado, se coloca una pareja de conejos para ver cuántos descendientes produce en el curso de un año, y se supone que cada mes a partir del segundo mes de su vida, cada pareja de conejos da origen a una nueva. Calcular la cantidad de parejas de conejos al cabo de un año"
Suponiendo que :
Los conejos alcanzan la madurez sexual a la edad de un mes.
Los conejos se aparean y siempre resulta preñada la hembra.
El periodo de gestación de los conejos es de un mes.
Los conejos no mueren.
La hembra siempre da a luz una pareja de conejos de sexos opuestos.
Los conejos tienen una moral y un instinto de variedad genética muy relajados y se aparean entre parientes.
Empezando con 1 pareja, el primer mes no pasa nada
Al igual que en el segundo, tampoco pasa nada pues no han alcanzado la madurez
El tercer mes tienen crías, en total hay 2 parejas.
Los padres vuelven a criar el siguiente mes, los hijos, no pues todavía no pueden. En total 3 parejas.
Ahora al quinto mes, tanto los padres como los hijos pueden criar y hay 5 parejas
Al quinto mes habrá 8, al sexto habrá 13 y asi hasta….
Que al año habrá 144 parejas
CARACTERISTICAS DE LA SERIE
Si cada término se define como a1, a2, a3, a4, a5, a6, a7, … an
con sus respectivos valores 1 1 2 3 5 8 13….
La serie tiene estas propiedades
Cada término se obtiene sumando los 2 anteriores an = an-2 + an-1
a5 = a3 + a4 = 2 + 3 = 5
La suma de los n primeros términos es an+2 - 1
Para n=4; a1 + a2 + a3 + a4 = 1 + 1 + 2 + 3 = 7= a6 - 1
La suma de los n primeros términos impares es a2n
Para n=3; a1 + a3 + a5 = 1 + 3 + 5 = 8 = a6
La suma de los n primeros términos pares es a2n+1 -1
Para n=2; a2 + a4 = 1 + 3 = 4 = a5 - 1
Y la más importante
El cociente entre dos términos consecutivos an+1 / an tiende a 1,618
O sea:
Si cada término de la serie se divide por el término anterior, se obtiene un valor cercano a 1,61803, una de las características muy importantes de esta serie y conocido como el número Phi, número áureo ó el símbolo [Author ID1: at Sat Nov 19 02:37:00 2005]
1 : 1 = 1
2 : 1 = 2
3 : 2 = 1,5
5 : 3 = 1,66666666
8 : 5 = 1,6
13 : 8 = 1,625
21 : 13 = 1,6153846....
34 : 21 = 1,6190476....
55 : 34 = 1,6176471....
89 : 55 = 1,6181818....
Hay varias caracteristicas del número Phi, que se combinan para definir otras relaciones.
Decimos que dos números se encuentran en proporción áurea cuando al dividirlos obtenemos el número Phi, que es la inicial del nombre del escultor griego Phidias que lo tuvo presente en sus obras.
Este número da origen a la proporción áurea que está presente:
En ciertas formas de la naturaleza
En el arte y en el diseño
En las espirales de los caracoles y en las nervaduras de las hojas
En las medidas del frente del Partenón de Atenas
En la Música, por ejemplo en las sonatas de Mozart y en la Quinta Sinfonía de Beethoven
En tarjetas de crédito, cajetillas de cigarrillos
Phi
El número de oro, para numerosos artistas representa
la máxima expresión de la belleza
la proporción perfecta
un diseño armonioso
Razón Aurea
PROPORCIÓN AUREA
La forma de dividir armoniosamente una línea se llama proporción áurea. Está dividida en dos partes tales ue uno de ellas es media proporcional geométrica entre la otra parte y el segmento entero.
“El lado mayor es al menor como la suma de ambos es al maRECTANGULO AUREO
Un rectángulo especial es el llamado rectángulo áureo. Se trata de un rectángulo armonioso en sus dimensiones.
Si se le pide elegir un rectángulo de entre varios, la mayoría de las personas elige uno con proporción aurea.
Aplicaciones de la serie y el número de oro.
PHI en las los pétalos de las flores
Al observar y contar los pétalos de las flores se llega a que las conocidas margaritas tienen 8, 13, 21, 34 pétalos; y éstos son Números consecutivos de la Serie de Fibonacci
Fibonacci en ¿espiral?
Esta curva ha cautivado, por su belleza y propiedades, la atención de matemáticos, artistas y naturalistas, gobierna el crecimiento armónico de muchas formas vegetales (flores y frutos) y animales (conchas de moluscos) y también en los cuernos de los mamíferos.
Al parecer la sabia naturaleza hace uso de un patrón especial que permite que las nuevas partes como hojas, semillas, pétalos se distribuyan de manera óptima a medida que crecen.
Por ejemplo las hojas de un tallo lo hacen de una manera tal, que la primera reciba una cantidad óptima de luz al crecer las siguientes, este ángulo de rotación tiene relación con el número áureo.
PHI en la Arquitectura
En la Venus de Boticelli
En e Partenón de Atenas, Grecia
En la Catedral de Notre Dame en Francia
En las pirámides de Egipto
En el edificio de las Naciones Unidas
PHI en el cuerpo humano
Griegos y romanos estudiaron las proporciones del cuerpo y las grabó en este dibujo Leonardo da Vinci que sirvió para ilustrar el libro “La Divina Proporción” de Luca Pacioli editado en 1509.
Pacioli propone un hombre perfecto en el que las relaciones entre las distintas partes de su cuerpo sean proporciones áureas.
Estirando manos y pies y haciendo centro en el ombligo se dibuja la circunferencia.
El cuadrado tiene por lado la altura del cuerpo y el ancho lo forman los brazos extendidos y formando un ángulo de 90º con el tronco
Resulta que el cociente entre la altura del hombre (lado del cuadrado) y la distancia del ombligo a la punta de la mano (radio de la circunferencia) es el número áureo.
Fibonacci en nuestra mano y brazo
Hay varias mediciones que se pueden hacer en el cuerpo humano donde aparecen el úmero PHI o la sucesión de Fibonacci.
Por ejemplo, la suma del largo de las dos falanges más pequeñas es igual al largo de la siguiente
Lo mismo para entre la distancia del codo a la mano y de la muñeca a la mano.
Fibonacci en las piñas
Las escamas de una piña aparecen en espiral alrededor del vértice. Si contamos el número de espirales de una piña, encontraremos que siempre es igual a uno de los números de la sucesión de Fibonacci.
Fibonacci en las margaritas
Al observar las margaritas vemos que están presentes los números tanto en las semillas del centro como en los pétalos.
Se puede ver que las semillas están ordenadas en forma de espiral hacia la derecha y hacia la izquierda y la cantidad de espirales hacia un lado y hacia el otro son números correlativos de Fibonacci.
PHI en las semillas
Al observar estos girasoles vemos como están presentes los números de Fibonacci en las semillas del centro.
Se puede ver que están ordenadas en forma de espiral hacia la derecha y hacia la izquierda y la cantidad de espirales hacia un lado y hacia el otro son 2 números de Fibonacci y además consecutivos
En varias sonatas para piano de Mozart, la proporción entre el desarrollo del tema y su introducción es la más cercana posible a la razón áurea.
Caracteristicas de la Sonata Nº1 para piano de Mozart
El segundo tema armónico de la obra siempre es más extenso que el primero
Primer movimiento subdividido en 38 y 62 compases y 63 / 38 = 1.6315
Segundo movimiento subdividido en 28 y 46 compases y 46 / 28 = 1.6428
Tampoco se sabe si fue consciente de ello, pero en su Quinta Sinfonía Beethoven distribuye el famoso tema siguiendo la sección áurea. El clímax de la obra se encuentra al 61,8 % de ella
Los músicos de jazz autodidactas pueden no ser conscientes de la teoría de escalas, armonía y formas que usan habitualmente, pero igual producen obras armoniosas
El Piano
El piano está constituido por siete octavas ordenadas de forma creciente de graves a agudas.
Así, los primeros seis números de la Sucesión de Fibonacci figuran en una octava de piano, la cual consiste en 13 teclas, 8 teclas blancas y 5 teclas negras ( en grupos de 2 y 3)
CONCLUSIONES
En este trabajo se demostró como los números estan presente en la naturaleza y en lo creado por el hombre. En la musica, el arte, la arquitectura, etc.
Las formas naturales no son caprichosas, sino que buscan también la eficiencia.
Las estrategias evolutivas favorecidas por las especies, se han basado en la adopción o preferencia de algunas formas funcionales.
Ciertas formas son más eficaces que otras para algunas funciones.
El espiral que se repite en moluscos, cuernos de mamíferos y semillas de flores, es la manera más eficaz de agrupar, manteniendo la misma forma a medida que el tamaño aumenta.
Al advertir mi asombro ante tanta belleza encontrada con este trabajo espero estar más consciente para descubrir nuevas relaciones en los objetos matemáticos que están a nuestro alcance
No hay comentarios:
Publicar un comentario
Agradecemos el comentario, puedes comunicarte por email: vtrezza@gmail.com